Haii gaess.. kali ini akan membahas soal-soal tentang kombinatorika yang pernah saya dapatkan pada jenjang SMA dan Perkuliahan. Pada materi kombinatorika ini saya bagi menjadi beberapa postingan, yaitu Soal & Pembahasan - Kombinatorika Dasar Perhitungan Soal & Pembahasan - Kombinatorika Kombinasi & Permutasi Soal & Pembahasan - Teorema Binomial & Multinomial Soal & Pembahasan - Prinsip Inklusi & Eksklusi Untuk materi yang saya bahas kali ini hanya poin kesatu saja, untuk poin dua sampai empat akan saya bahas pada kesempatan selanjutnya. Pembahasan soal-soal ini saya bedakan berdasarkan dasar-dasar perhitungan kombinatorika, yaitu antara lain Aturan penjumlahan Aturan perkalian Perhitungan tak-langsung Koresponden satu-satu Apasih perbedaan aturan penjumlahan dengan aturan perkalian? Untuk membedakannya itu sangat mudah sekali. Pada aturan penjumlahan kita selalu bermain dengan kata penghubung "atau" sedangkan pada aturan perkalian kita bermain dengan kata penghubung "dan". Jadi, ketika ada soal ditengah-tengah kalimat soal, terdapat kata penghubung "atau" maka untuk menyelesaikan soal tersebut kita menggunakan aturan penjumlahan. Kemudian ketika ada soal ditengah-tengah kalimat soal, terdapat kata penghubung "dan" maka untuk menyelesaikan soal tersebut kita menggunakan aturan perkalian. Pada materi yang saya bagikan ini bersumber dari buku Matematika Diskrit karangan Drs. Jong Jek Siang, Oke untuk mempersingkat waktu mari kita langsung saja mulai pembahasan soal kombintorika yang aturan penjumlahan. Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam untuk mengambil sebuah jantung heart atau sebuah daun spade? Pada kartu bridge terdapat macam-macam jenis Jantung/hati = 13 kartu 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, dan As Keriting = 13 kartu Daun/waru = 13 kartu Wajik/diamond = 13 kartu Jadi, berapa macam cara untuk mengambil sebuah jantung heart atau sebuah daun spade? Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam untuk mengambil sebuah jantung atau kartu As? Jantung = 13 kartu As = 3 kartu karena 1 kartu As sudah masuk di jantung Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam untuk mengambil sebuah As atau sebuah king? As = 4 kartu As wajik, daun, keriting, & jantung King = 4 kartu king wajik, daun, keriting, & jantung Dalam suatu kartu bridge lengkap, beberapa macam cara untuk mengambil sebuah kartu bernomor 2 hingga 10? kartu bernomor 2 = 4 kartu 2 wajik, daun, keriting, & jantung kartu bernomor 3 = 4 kartu 2 wajik, daun, keriting, & jantung hingga kartu bornomor 10 pun sama, yaitu ada 4 kartu. pada kartu bernomor 2 sampai 10 terdapat 9 kartu. Jadi, berapa cara untuk mengambi sebuah kartu bernomor 2 hingga 10? Misalkan dua buah dadu yang berbeda warnanya merah dan putih dilontarkan. Ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8? Angka 4 Angka 8 Dadu Merah Dadu Putih 2 6 3 5 4 4 pada angka 8 ada 5 cara. Jadi, berapa cara untuk mendapatkan angka 4 atau 8, yaitu 3 + 5 = 8 cara. Bagaimana kalau kedua dadu warnanya sama? seperti soal 6 Soal 6 Misalkan dua buah dadu warnanya sama merah dan merah dilontarkan. Ada berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8? Pembahasan Ingat!! Kalau dadunya sama kemudian muncul 1,3 dengan 3,1 itu dihitung 1, karena tidak dapat dibedakan warnanya. Angka 4 Dadu Merah Dadu Merah 1 3 2 2 Angka 8 Dadu Merah Dadu Merah 2 6 3 5 4 4 Jadi, berapa cara untuk mendapatkan angka 4 atau 8 pada dadu yang sama, yaitu 2 + 3 = 5 cara. Aturan Perkalian Soal 7 Misalkan barang-barang di suatu parbrik diberi nomor kode yang terdiri 3 huruf dan diikuti 4 angka misal KMR3154. Tentukan Jika huruf dan angka boleh diulangi penggunaanya, ada berapa macam barang yang dapat diberi kode yang berbeda? Jika hanya hurufnya saja yang boleh diulangi, ada berapa macam barang yang dapat diberi kode yang berbeda? Jika huruf dan angka tidak boleh diulangi suatu barang tidak boleh memiliki kode huruf/angka yang sama, ada berapa macam barang yang dapat diberi kode yang berbeda? Pembahasan Ingat!! Pada bahasa indonesia, ada 26 huruf A sampai Z dan 10 angka 0 sampai 9 a. Huruf & angka boleh diulangi 26 26 26 dan 10 10 10 10 = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104 b. Hanya huruf saja yang diulangi = 26 x 26 x 26 x 10 x 9 x 8 x 7 = 263 x 10 x 9 x 8 x 7 c. Huruf & angka tidak boleh berulang = 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 Soal 8 Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 atau 3 digit yang dapat dibentuk menggunakan angka-angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, dan 9, jika perulangan tidak diperboehkan. Pembahasan Diketahui bahwa 1, 3, 4, 5, 6, 8, dan 9, itu berjumlah 7. Maka didapat 7 6 atau 7 6 5 = 7 x 6 + 7 x 6 x 5 = 42 + 210 = 252 cara Perhitungan Tak Langsung Selain peritungan-perhitungan langsung seperti soal 1 - soal 8, kadang-kadang masalah kombinatorika akan lebih mudah diselesaikan secara tidak langsung, yaitu dengan menghitung komplemennya. Soal 9 Suatu kartu bridge lengkap diambil satu per-satu dengan pengembalian. Berapa banyak cara yang mungkin untuk mengambil 10 kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang telah diambil sebelumnya? Pembahasan Diketahui kartu bridge berjumlah 52 kartu. Kemudian perhatikan soal, disoal terdapat syarat yaitu kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang telah diambil sebelumnya. Dengan begitu didapat 51 5151 51 51 51 51 51 51 52 = 519 x 52 Ketika tidak ada syarat apapun untuk mengambil ke-10 kartu, maka ada 5210 cara. Jadi, banyak cara untuk mengambil 10 kartu sedemikian sehingga kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang diambil sebelumnya adalah 5210 - 519 x 52 cara. Koresponden Satu-satu Pada koresponden satu-satu adalah suatu teknik lain untuk menghitung dilakukan dengan cara mengganti masalah yang sedang diselesaikan dengan masalah lain yang diketahui memiliki jumlah objek yang sama. Soal 10 Suatu pertandingan bola basket dengan sistem gugur diikuti 101 regu. Dalam sistem tersebut, regu yang kalah akan langsuung gugur dan regu yang menang akan maju ke babak berikutnya. Jika jumlah regu dalam suatu babak tertentu ganjil, maka ada 1 regu yang mendapatkan bye menang tanpa bertanding. Berapa banyak keseluruhan pertandingan yang harus dilakukan untuk mendapatkan satu regu yang menjadi juara? Pembahasan Permasalahan soal diatas dapat diselesaikan menggunakan dua cara, yaitu cara langsung dan dengan koresponden satu-satu. Dengan cara langsung Babak I 101 regu, 50 menang 1 bye Babak II 51 regu, 25 menang 1 bye Babak III 26 regu, 13 menang 0 bye Babak IV 13 regu, 6 menang 1 bye Babak V 7 regu, 3 menang 1 bye Babak VI 4 regu, 2 menang 0 bye Babak VII 2 regu Final, 1 menang Jadi, jumlah pertandingan yang dilakukan untuk menentukan 1 juara yaitu 50 + 25 + 13 + 6 + 3 + 2 + 1 = 100 kali. Dengan koresponden satu-satu Babak I 101 regu, 50 regu kalah Babak II 51 regu, 25 regu kalah Babak III 26 regu, 13 regu kalah Babak IV 13 regu, 6 regu kalah Babak V 7 regu, 3 regu kalah Babak VI 4 regu, 2 regu kalah Babak VII 2 regu, 1 regu kalah Jadi, jumlah regu yang kalah yaitu 50 + 25 + 13 + 6 + 3 + 2 + 1 = 100 regu kalah. Atau bisa menggunakan rumus cepat n - 1 dimana n adalah regu. n - 1 = 101 - 1 = 100 kali pertandingan. Soal-Soal Latihan 1. Misalkan 2 buah dadu yang berbeda warna dilontarkan. Berapa macam cara untuk mendapatkan jumlah mata datu genap? Bagaimana jika kedua dadu berwarna sama? 2. Berapa banyak kode barang yang dapat dibuat menggunakan 1 atau 2 atau 3 huruf yang diikuti oleh 4 angka? 3. Sebuah surat berantai dikirimkan kepada 10 orang di minggu pertama tahun tersebut. Minggu berikutnya setiap orang yang menerima akan mengirimkan kepada 10 orang yang lain, dan seterusnya. Berapa banyak orang yang menerima surat tersebut setelah 10 minggu? Pada akhir tahun? 4. Suatu kemeja merek tertentu memiliki 12 warna pilihan, memiliki versi untuk pria dan wanita, serta 3 ukuran untuk tiap-tiap versi. Berapa banyak tipe kemeja yang dibuat? 5. Berapa banyak nomor telepon yang bisa dibuat jika nomor tersebut terdiri dari 7 digit, dua digit pertama antara 2 hingga 9, digit ketiga antara 1 hingga 9, dan digit sisanya bebas? 6. Suatu kode akses komputer terdiri dari 3 huruf dengan mengizinkan perulangan. Beraa banyak di antara kode-kode tersebut yang perulangan huruf? 7. Ada 5 jalan berbeda dari kota A ke kota B, 3 jalan berbeda dari kota B ke kota C, dan 3 jalan berbeda dari kota A langsung ke kota C. a Berapa banyak cara yang ada untuk bepergian dari A ke C lewat B? b Berapa banyak cara yang ada untuk bepergian dari A ke C secara keseluruhan? c Berapa banyak cara yang ada untuk bepergian dari A ke C dan kemudian kembali ke A lagi? d Berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C dan kembali lagi ke A dengan selalu melewati B, baik waktu berangkat maupun pulang? e Berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C lewat B dan kembali dari C langsung ke A? f Berapa banyak perjalanan berbeda dari A langsung ke C dan kembali lagi ke A dengan melewati B? g Berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C dan kembali lagi ke A dengan melewati B paling sedikit satu kali? h Misalkan jalan yang sudah dilalui tidak boleh dipakai kembali, maka berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C melewati B dan kembali lagi ke A dengan melewati B lagi? i Dengan memakai asumsi dalam h, berapa banyak perjalanan berbeda dari A ke C dan kembali lagi ke A? Untuk pembahasan soal-soal latihan, up nanti malam.

berapa banyak nomor telepon yang terdiri dari 7 angka